2025高考数学全国一卷个人解析

2025 年 6 月 7 日，本人终于迎来了属于自己的高考。这是河南实行新高考改革的第一年，语数英三科使用教育部命制的全国一卷，选考科目使用自主命题的河南卷。由于种种原因，本以为会考得很差，但成绩却超出预期。尽管本解析可能会较主流教辅详细易懂不少，但是写这一篇解析的主要目的也并非希望能够帮到他人，而是给自己留作纪念。

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一、选择题

本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.$(1+5\text{i)i}$的虚部为

A．$-1$	B．$0$	C．$1$	D．$6$

复数运算法则与实数相差不大，直接展开可得$\mathrm{i}+5\mathrm{i}^2$，其中$\mathrm{i}^2=-1$，化简得$\mathrm{i}-5$。复数$a+b\mathrm{i}$的虚部为$b$，则本题复数的虚部为$1$，选 C。

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2.已知集合$U=\{x|x$是小于$9$的正整数$\}$，$A=\{1,3,5\}$，则$\complement_{U}A$中的元素个数为

A．$0$	B．$3$	C．$5$	D．$8$

集合$U$中显然有$1,2,3,4,5,6,7,8$；对全集$U$，除去集合$A$中元素后即为$\complement_{U}A$，此处为${2,4,6,7,8}$，有$5$个元素，选 C。

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3.已知双曲线$C$的虚轴长是实轴长的$\sqrt{7}$倍，则$C$的离心率为

A．$\sqrt{2}$	B．$2$	C．$\sqrt{7}$	D．$2\sqrt{2}$

双曲线定义表明在双曲线方程中$c^2=a^2+b^2$，双曲线的离心率$e=\dfrac{c}{a}$。题干信息等价为$b=\sqrt{7}a$，即$b^2=7a^2$，由此可消去$b^2$，得$8a^2=c^2$；参照$e$的表达式变形得$\dfrac{c^2}{a^2}=8$，即$e=2\sqrt{2}$，选 D。

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4.已知点$(a,0)(a>0)$是函数$y=2\tan (x-\dfrac{\pi}{3})$的图像的一个对称中心，则$a$的最小值为

A．$\dfrac{\pi}{6}$	B．$\dfrac{\pi}{3}$	C．$\dfrac{\pi}{2}$	D．$\dfrac{4\pi}{3}$

函数 $y=2\tan\!\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)$ 的对称中心由 $\tan x$ 的性质确定。$\tan x$ 的对称中心为 $(k\pi,0)$，平移 $x \to x-\dfrac{\pi}{3}$ 后变为 $\left(\dfrac{\pi}{3}+k\pi,0\right)$，系数$2$造成的图像伸缩不改变对称中心位置。于是 $(a,0)=\left(\dfrac{\pi}{3}+k\pi,0\right)$，即 $a=\dfrac{\pi}{3}+k\pi$。因 $a>0$，最小值取 $k=0$，得 $a=\dfrac{\pi}{3}$。选 B。

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5．已知$f(x)$是定义在$R$上且周期为$2$的偶函数，当$2\le x\le 3$时，$f(x)=5-2x$，则$f(-\dfrac{3}{4})=$

A．$-\dfrac{1}{2}$	B．$-\dfrac{1}{4}$	C．$\dfrac{1}{4}$	D．$\dfrac{1}{2}$

先利用周期性：$f(x+2)=f(x)$，所以 $f(x)=f(x+2k)$。当$2\le x\le 3$时，$f(x)=5-2x$。要计算$f(-\dfrac{3}{4})$，加 $2$ 得 $f(-\dfrac{3}{4})=f(\dfrac{5}{4})$。再利用偶函数性质：$f(\dfrac{5}{4})=f(-\dfrac{5}{4})$。为了落入已知区间，将 $-\dfrac{5}{4}$ 加 $2$ 得 $\dfrac{3}{4}$，于是 $f(-\dfrac{5}{4})=f(\dfrac{3}{4})$。继续加 $2$ 得 $f(\dfrac{3}{4})=f(\dfrac{11}{4})$。注意 $\dfrac{11}{4}=2.75$ 落在 $[2,3]$ 内，于是 $f\left(\dfrac{11}{4}\right)=5-2\cdot\dfrac{11}{4}=5-\dfrac{11}{2}=-\dfrac{1}{2}$，所以 $f(-\dfrac{3}{4})=-\dfrac{1}{2}$，选 A。

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6.帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速．视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反．图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系．已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：$\mathrm{m}/\mathrm{s}$），则该时刻的真风为

• 图1

等级	风速大小	名称
1	1.1~3.3	轻风
2	3.4~5.4	微风
3	5.5~7.9	和风
4	8.0~10.1	劲风

• 图2

A．$-\dfrac{1}{2}$	B．$-\dfrac{1}{4}$	C．$\dfrac{1}{4}$	D．$\dfrac{1}{2}$

借助阅读理解能力易得：船行风速对应的向量由$(3,3)$指向$(2,0)$；（向量）船行风速$+$真风风速$=$视风风速。画图知真风风速对应向量由$(2,0)$指向$(0,2)$，模为$2\sqrt{2}$，硬算或根据常识可得$2\sqrt{2}<3.3$，故为轻风。选 A。